Сайт любителей музыки

Смешанное произведение трех векторов

Определение смешанного произведение или скалярного тройного произведения

Смешанное произведение (или скалярное тройное произведение) является скалярным произведением первого вектора, причем векторное произведение двух других векторов обозначено как a · ´ ). Более подробную информацию можете найти на сайте meanders.ru в статье про смешанное произведение трех векторов https://meanders.ru/vektor.shtml
Геометрически смешанный продукт — это объем параллелепипеда, определяемый векторами a, b и c, как показано на рисунке справа.
Вектор ´ c перпендикулярен основанию параллелепипеда, и его величина равна площади основания,  B = | ´ c |.
Высота параллелепипеда — это проекция вектора a в направлении вектора ´ c, поэтому h = | a | · cos j.

Следовательно, скалярное произведение вектора a и вектора ´ c равно объему параллелепипеда.

Знак скалярного тройного произведения может быть как положительным, так и отрицательным, так как a · ´ ) =  a · ´ )

Условие, чтобы три вектора были копланарными

Смешанное произведение равно нулю, если любые два вектора a, b и c параллельны или a, b и c копланарны. То есть, когда заданные три вектора копланарны, высота параллелепипеда равна нулю и, таким образом, скалярное тройное произведение равно нулю,

Смешанный продукт или скалярный тройной продукт, выраженный в единицах компонентов

Скалярное тройное произведение, выраженное через компоненты векторов,

axi + aj + azk,
bxi + bj + bzk  и  cxi + cj + czk,

Приведенная выше формула может быть получена из детерминанта, расширенного минора через элементы первого ряда,

Следовательно, векторы a, b и c будут копланарными, если определитель равен нулю.